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由于知道一个平面上曲线的导数,就是对应点上的斜率。

那么在曲面中,是不是该有一个切曲面。

而在曲体里,会有切体。

如何去用数学工具去研究呢?

曲面中,只有一个x变量,出现的就是对应的直线。

而曲面中,需要一个平面的话,就需要两个直线去确定一个平面。

而曲面是在x、y两个变量中的变化,曲面方程的求导只能按照直线求导的方式来。

那先去求x的导数,还是先求y的导数?这个先后如果求的导数不同话,那就说明有一种方向不同的连续性的东西。

当然这也是以后,柯西准则,去判断曲面连续性的东西。

而这里,去对曲面甚至曲体甚至曲高维体求导,就用雅可比行列式。

雅可比行列式通常称为雅可比式,它是以n个n元函数的偏导数为元素的行列式。

事实上,在函数都连续可微(即偏导数都连续)的前提之下,它就是函数组的微分形式下的系数矩阵(即雅可比矩阵)的行列式。

若因变量对自变量连续可微,而自变量对新变量连续可微,则因变量也对新变量连续可微。

这可用行列式的乘法法则和偏导数的连锁法则直接验证。

也类似于导数的连锁法则。

偏导数的连锁法则也有类似的公式;这常用于重积分的计算中。

雅可比行列式求导,两个变量之间是垂直的,但是也能反应出斜向的一些曲率变化力。

对雅可比矩阵的理解就是对多变量向量的求导,跟y=f'(x)代表曲线切线一样,雅可比矩阵代表了一个高维度的切空间,有了这个切空间,就可以通过设定初值迭代出无法得到解析解的微分方程组的数值解。比如三体、多摆等问题~

雅可比在想,如果是任意的高维表面,我在这个表面上,开始做出对应这个维度的切体,这个切体沿着这个高维面滑动,滑动之时,这个切体会发生变化。

可以研究这个切体的变化来推敲这个高维物体的性质。

这样的模型很难感悟,需要感悟这些数字,因为光是数字,很难形成图形,而这些切体也难于用大脑想象,同时切体中的形状也会相互交错。

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