庞加莱想平面之间的等价性还是很容易的。
一个皮球，是一个面组成了，可以平展成一个面的形状。
这是让一个二维的面从三维空间中转化成立二维空间。
如果是四维空间的皮球，是否能够平展成二维空间的平面？
一般人粗略的一想，还以为可以。
但是庞加莱敏锐的洞察到，四维空间中的皮球，不是一个二维的面。
或许是个三维的体，搞不好就是三维空间的实心球体。
这个想法突破了一般人的认知，但在数学是是轻松可以推论的。
只是这需要去证明才行。
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拓扑”跟“群”一样也是一种对结构的描述，但是它不再专注于结构的外观、尺度，而只关心结构的性质，即不再进行定量研究转而进行定性研究，这是数学发展史上又一次伟大的突破。
比如我们可以把一个瘪了的球、一个正方体、一个十二面体都认为具有同样的拓扑，因为这些结构在三维空间中都是封闭的，它们都可以通过连续变换变成一个球。你可以想象这些物体都是橡皮做的，只要充满气，就能把它们涨成完美的球形，在拓扑学中我们说这些结构与球是同胚的。具有同胚拓扑结构的空间几何体在遵循“不撕裂不扯破”的原则下能够任意相互变换。所谓“不撕裂不扯破”就是不破坏构成结构体的各点之间的关系，比如A点和b点是相邻的，在变换之后A点与b点仍然是相邻的。有一种结构，无论你用同样的方式怎么努力，也不能变成球形，那就是轮胎。这是因为轮胎与球具有不同的拓扑结构，球是单联通的，而轮胎是双联通的。
欧拉公式揭示了拓扑性质与对称性之间的联系，在单联通多面体结构，只能产生5种完美对称，我们真实的宇宙一样具有某些拓扑性质，这些拓扑性质也同样对对称性有约束，因此才形成了我们所见的宇宙。
克莱因瓶
它和莫比乌斯带非常相像，实际上是莫比乌斯带的三维扩展，但是与之不同的是，克莱因瓶是一个闭合的曲面，也就是说它没有边界。我们可以想象将两个相反的莫比乌斯带的边缝合在一起，就构成了一个克莱因瓶。莫比乌斯带必须跨越到3维或更高维的空间才得以形成，克莱因瓶则跨越到于四维或更高维空间中才能制造出来，它在我们的三维空间中是不可能存在的，它实际上是在四维空间中将三维空间的正反两面扭曲连接到一起。
拓扑学上最传奇的故事莫过于庞加莱猜想了。1904年，庞加莱在一篇论文中提出了一个看似很简单的拓扑学的猜想：在一个三维空间中，假如每一条封闭的曲线都能收缩到一点，那么这个空间一定是一个三维的圆球，即任何单联通的三维封闭流形都同胚于三维球面。后来这个猜想被推广至三维以上空间，被称为“高维庞加莱猜想”，即“任何与n维球面同伦的n维封闭流形必定同胚于n维球面”。前面我们已经讲过同胚是指通过不撕裂不扯破的连续变换可以变为同样形状的性质，同伦则是比同胚更宽松的变换，比如我们可以把一个三维的球压扁在一张纸上变成一个二维的圆盘，然后在二维的圆盘上长出几根刺，这个图形与原来三维的球都是同伦的。庞加莱猜想其实意味着在我们的三维空间中的任何封闭物体，不管是一块砖头，一个人，还是一台拖拉机，只要它是封闭的，在四维空间中它就必然能连续变换成四维空间中的三维球面。换句话说，正如三维球体的边界是一个二维封闭球面一样，四维球体的边界其实就是三维的封闭球面，这个球面去掉一个点展开来就是整个三维空间，任何在这个三维空间中封闭的物体都可以通过拉伸、弯曲、延展变成一个三维的封闭球面。类似三叶结这样的结构在三维空间中当然不能变成一个球，但是在四维空间中，这样的变换就变得轻而易举。
一个多世纪以来，无数的科学家为了证明“庞加莱猜想”倾尽了毕生的心血也没有能够完成。希腊着名的拓扑学家帕帕在临终前，把一叠厚厚的证明手稿托付给一位数学家朋友，然而那位数学家发现了其中的错误，他为了让帕帕不留遗憾地离去，最后选择了沉默，这只是庞加莱猜想证明史上无数悲歌中一首。2000年5月24日，美国克雷数学研究所的科学顾问委员会把庞加莱猜想列为七个“千禧年大奖难题”之一。这七道问题被研究所认为是对人类科学发展最为重要的定理，克雷数学研究所的董事会决定建立七百万美元的大奖基金，每个问题的解决都可获得百万美元的奖励，因为任何一个问题的解决，都将人类对于宇宙的认识提升到新的层次，而庞加莱猜想被公认为七个难题中最不可能被证明的一个。尽管举步维艰，但前方似乎总在闪动着曙光，一群拓扑学的先驱前仆后继，铺就一条通往遥远彼岸的浮桥，
斯梅尔完成了对庞加莱猜想的五维空间和五维以上的证明；
福里德曼给出了四维空间的证明；
瑟斯顿引入了几何结构的方法对三维流形进行切割；
丘成桐和李伟光发展出了一套用非线性微分方程的方法研究几何结构的理论；
汉密尔顿给出了里奇流奇点的理解；
而默默无闻的俄罗斯犹太裔数学家格里戈里·佩雷尔曼则完成了最后的证明。
庞加莱猜想跟圆结构密不可分。我们知道，自然界中普遍存在着圆、球及跟圆密切相关的螺旋，圆是相当神奇的拓扑结构，它有一些看似普通但却深刻的性质。在几何学中，圆是在N维空间中距离一点距离相同的所有点的集合，在二维平面上圆方程为x^2+y^2=r^2，即平面中与同一点距离相同的点组成的环，是平面封闭流形的一种特殊形式。圆的性质之一是封闭性，它将维度空间隔离为截然不同的两部分，一部分为内部空间，一部分为外部空间。圆内空间为有限，圆外空间为无限，圆内边缘与圆外边缘具有截然相反的性质，内圈为负曲率，外圈为正曲率。圆的性质之二是连续性，用数学术语来说是可积可导的，它连续弯曲变化，没有折叠、没有断裂，最终首尾精巧相连，一切都圆融自然。圆的性质之三是它可以收缩为点，圆收缩为点的性质其实对应圆所包围的面，在这个面中所有的点都可通过连续变换收缩于其中的一点，收缩过程可以是通过不断缩小半径变换为更小半径的圆面，原有圆面中的每个点都对应着新圆面中的点，且点与点之间保持原有的相邻关系，不折断也不破裂。圆拓扑的性质之四是有限无界性，我们的地球就是这样一种结构，有限的体积，但表面没有界限，这体现了宇宙的绝妙创意，它让宇宙本身首尾相连、循环相依、浑然天成、自成一体。这样的结构既能使宇宙整体展现完整与自恰，也能让其内部的生命体感到无限开放、无拘无束。我们知道，作为自然界大统一理论备选方案的m理论是由不同种类的弦论组成的，而弦论又都是建立在开弦、闭弦及膜的基础之上的。可以说，在m理论中，开弦、闭弦及膜的拓扑变换及维度扩展最终演化形成了整个宇宙的复杂结构。而线对应“开弦”，圆环对应“闭弦”，圆面对应“膜”，它们都是宇宙中的最基本的结构，不同之处在于开弦有两个自由的端点，闭弦没有自由的端点，而膜则可以变换成开弦与闭弦。从某种意义上来说，圆面是比圆环、线段更为基本的东西，因为所有维度的空间在高于它的维度空间看，都只是一层扁平的薄膜，比如从四维空间中来看，地球实际上是一张三维膜，而黑洞的奇点正是三维膜收缩而成的点。借用一位中国学者的观点：“借助庞加莱猜想熵流，用空心圆球不撕破和不跳跃粘贴，能把内表面翻转成外表面，可证时间之箭的起源，还能把热力学与量子论、相对论、超弦论和圈量子引力论等相联系”，这让我们似乎看到了揭开时间之谜的一把拓扑学之钥，如果时间的本质是“概率的不可逆”，那么这种概率的不可逆就可能对应于“把空心圆球不撕破和不跳跃粘贴，能把内表面翻转成外表面”的拓扑变换性质，宇宙的爆发以及膨胀也许正是在执行这种变换。
庞加莱猜想带给我们新的宇宙观：每个N维球面都包裹着N+1维的一块世界，也可以说每个N维的世界，都是由N+1维的世界支撑着。跟我们通常认为的相反，低维世界恰恰是依附于高维世界而存在的，因为低维世界只是高维世界中物体的分界。正如人类是以地球的二维球面为支撑，生长在宇宙的三维球面上。当然不排除还有其他的生命形式以宇宙的三维空间为支撑，生长在更广阔的四维球面上(下图为四维球在三维空间中投影结构)。