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我们的最后两片拼图,陈氏类和黎奇曲率,是彼此相关的,它们是源自于几何学家尝试将黎曼面从复一维推广到多维,并从数学上刻画这些推广结果之间差别的努力。

这把我们带到一个重要定理:高斯—博内定理,它适用于紧致黎曼曲面,以及其他任何无边界的紧致曲面。

“边界”在拓扑中的定义很直观:圆盘是有边界的,亦即有明确界定的边缘,而球面则没有。在球面上,不管你朝哪个方向走,而且不管走多远,都不会碰到或接近任何边缘。

这个定理是在19世纪时由高斯和法国数学家博内(pierre bonnet)所提出的,它建立了曲面的几何性质及其拓扑性质之间的关系。

高斯—博内公式是说,上述曲面的总高斯曲率(或高斯曲率的积分)等于2π乘以该曲面的“欧拉示性数”(Euler characteristic)。而欧拉示性数x(希腊字母chi)则又等于2-2g,其中g是曲面的亏格(也就是曲面的“洞”数或“把手”数)。举例来说,二维球面没有洞,所以它的欧拉示性数是2。在此之前,欧拉提出了另一条求任何多面体欧拉示性数的公式:x=V-E+F,其中V是顶点数,E是边数,F是面数。以四面体为例,x=4-6+4=2,与球面的x值相同。一个立方体有8个顶点、12个边和6个面,所以x=8-12+6=2,再次和球面相同。因为欧拉示性数只和物体的拓扑,而非几何形状有关,那么这些几何相异,但拓扑相同的物体有着相同的x值当然很合理。欧拉示性数x是空间的第一个主要的“拓扑不变量”,也就是在拓扑等价但外观可能极为不同的各个空间上(例如球面、四面体和立方体),都能维持不变的性质。再回到高斯—博内公式。由此,二维球面的总高斯曲率是2πx2=4π。至于二维环面,因为它的x是0(2-2g=2-2=0),所以环面的总高斯曲率是0。把高斯—博内的原理推广到更高维,就会把我们带到陈氏类。

一个可赋向(或是有两面)的曲面,拓扑上可由其欧拉示性数来描述。计算多面体的欧拉示性数有一条简单的公式(多面体即是由平坦的面和直线的边所构成的形体)。欧拉示性数x等于顶点数减边数,再加上面数。对于本图所示的长方体,其值为2。四面体的欧拉示性数也是2(=4-6+4),四角锥也同样是2(=5-8+5)。因为这些物体都是拓扑等价的,所以它们理所当然有着相同的欧拉示性数2

陈氏类是由我的指导老师陈省身所发展的理论,是一种在数学上刻画不同复流形的概略方法。简单来说,如果两个流形的陈氏类不同,它们就不可能相同;反之却不一定成立:两个不同的流形可能具有相同的陈氏类。

复一维的黎曼面只有一个陈氏类,即第一陈氏类,而对于这个情况,正好等于欧拉示性数。一个流形的陈氏类数目,视其维数而定,例如复二维的流形具有第一和第二陈氏类。至于弦论所关心的复三维(或实六维)流形,则有三个陈氏类。它的第一陈氏类为六维空间中的实二维子空间(子流形)各对应到一整数,其中所谓子空间是原空间的一部分形体,就像纸张(二维)可以摆在办公室(三维)里一样。类似地,第二陈氏类为空间中的实四维子流形各对应一整数。第二陈氏类则为这个复三维(或实六维)的流形本身指定一个数字,也就是欧拉示性数x。事实上,对于任何复n维的流形,它的最后一个,亦即第n个陈氏类必定对应到流形的欧拉示性数。

但陈氏类究竟告诉了我们什么?或者说,指定这些数字的目的何在?其实这些数对于子流形本身并没提供多少信息,但是对于整个流形,它们却透露出许多重要的讯息。这在拓扑学是很常见的:当要了解复杂、高维的物体结构时,我们经常检视此物体中的子物体的数目和类型。

打个比方,假设你给身在美国的每个人都编上不同编号。那么,为个人指定的数字丝毫无助于理解他或她本人,但若把这些数字汇总起来,就可以呈现出更大的“物体”——美国本身——的重要情报,例如人口规模、人口成长率等。

我们还可以再举一个具体实例,来解释这个相当抽象的概念。让我们依照惯例,从很简单的物体开始。球面是一个复一维或实二维的曲面,它只有一个陈氏类,在这个情况等于欧拉示性数。回想一下,我们在第2章讨论过,居住在球形行星上时,关于气象学和流体力学的一些影响。例如风有没有可能在地表上的每一点都是由西向东吹?在赤道以及赤道之外的任何纬度线,都很容易想象风如何向东吹。但是在南极和北极的极点(这两点可以被视为奇点),却根本没有风,这是球面几何的必然结果。对于这种有着明显例外的特殊点的曲面,它的第一陈氏类不等于零。

第一陈氏类(对于本图中的二维曲面来说,正好等于欧拉示性数)与向量场中流动停滞的地方有关。在像地球的球面上,我们可以看到两个这样的点。如果流动是从北极往南极流(左上图),在两个极点上,所有表示流动的向量会彼此抵消,因此净流动为零。同理,如果流动是由西向东(右上图)还是会有两个根本没有流动的停滞点,同样又是出现在北极点和南极点,因为在此根本没有西向、东向可言。如果是环面,情形就不同了。在此,流动可以是铅直的(左下图)或水平的(右下图),都不会遇到停滞点。由于环面上的流动没有奇点,所以它的第一陈氏类是零,而球面的则不是零。

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